Квителашвили тренируется у известного московского тренера Этери Тутберидзе. За Грузию спортсмен выступает с 2016 года. На Олимпиаде в Пекине вместе с лыжницей Нино Циклаури, стал знаменосцем национальной сборной.

Он хорошо выступил в короткой программе, набрав 97,98 балла и занял 5-е место среди 30 спортсменов, в результате чего прошел квалификацию и вышел в финальную, свободную программу, которая пройдет 10 февраля.

В финальном этапе встретятся 24 из 30 лучших спортсменов, среди которых будут разыграны медали.

После короткой программы первое место от США занял двукратный чемпион мира Нейтан Чен, который показал безупречное выступление и заслужил 113,97 балла.